旋转抛物面图像及方程（如何求旋转面方程）

1. 高等数学研究的三维图形，绝大多数都是旋转面，例如球面，圆锥面，圆柱面，旋转抛物面；
2. 旋转面方程的构造，从简单到复杂有如下方法：
3. 
   

A．若母线在坐标面上，且轴是坐标轴，那么可以直接套用公式：

f(y,z)=0&x=0绕z轴旋转→z不变，把原方程里面的y改为±sqrt(y^2+x^2)→f(±sqrt(y^2+x^2),z)=0.

例如：

要算三重积分，先要得到曲面方程

题目中的曲面，可以直接利用公式得到z^2+y^2=2x

B．增加一点难度，若母线不在坐标面上(母线任意)，还是绕着z轴旋转，那么可以先读懂如下原理：

绕z轴旋转，那么转出来的点z坐标都不变，旋转的点和原始的点到z轴的距离一样。

再把原理变为方法：

把原母线变为参数方程，则原母线上的点记为x_t，y_t，z_t，旋转面上的点记为x，y，z，绕z轴旋转→z不变→z=z_t，距离一样→x^2+y^2= x_t ^2+y_t ^2，最后消去参数t，便可得x，y，z满足的方程。

例如一道2013年数学一的题：

因为母线不在坐标面上，所以没法用简单的方法A，要计算曲面的方程，只能利用方法B

C．终极方法，当旋转轴不是坐标轴时，只能用专业的旋转面构造方法了，其实以上的方法都是专业方法的特殊情况，方法AB的原理都是方法C，一般来说考研，学会方法AB就行了，方法C有点太专业（太难了）。

原理：曲面上任一点满足的方程就是曲面方程。点P(x，y，z)要在旋转面上需要满足，P由母线上的点旋转而得(到轴的距离一样，和轴垂直)，将这些要求写成参数方程组后消去参数即可。之前的方法AB，都是由这个推导出来的。例如

因为轴不是z轴，没法用方法AB，只能从方法C入手

接下来把上面的方程组消去参数x_1,y_1,z_1(四个方程消去三个参数，可得一个方程)，就是P(x，y，z)满足的旋转面方程。